새해 첫날, 우리는 한 해의 계획을 세우곤 하는데, 그 계획에는 꼭 ‘다이어트’가 들어가곤 합니다. 명절이나 휴가가 끝나면 왜 이렇게 많이 먹었나 후회하며, ‘살 빼는 방법’을 검색하기도 하죠. 이처럼 우리는 몸무게를 줄이는 데 관심이 많습니다. 오늘은 이에 대해 이야기해보려 합니다. 정답부터 말하면, 달이나 에베레스트 산에 올라가는 겁니다. 영국의 과학 잡지 ‘NewSicentist’는 재밌는 사실을 제시했습니다. 푹신한 카펫 위에서 몸무게를 재지 말라는 것입니다. 왜 일까요? 체중계는 몸무게를 재는 저울로 지렛대를 받치는 받침점, 힘이 가해지는 힘점, 그 힘이 작용하는 작용점으로 구성돼 있습니다. 딱딱한 바닥에서 체중계에 올라가면 체중계의 바닥면이 아래로 살짝 휘어집니다. 그래서 체중계의 받침점과 힘점 사이의 거리가 짧아지고, 작용점에 가해지는 힘이 작아집니다. 하지만 푹신한 카펫 위에서는 바닥면이 휘어지지 않기 때문에 받침점과 힘점 사이의 거리가 멀어지고, 작용점에 가해지는 힘이 커져 몸무게가 더 많이 나옵니다. ‘물리’에서 말하는 몸무게는 지구가 사람을 잡아당기는 ‘중력의 크기’입니다. 따라서 중력의 크기가 다른 곳에서는 몸무게가 달라집니다. 예로 달에서의 몸무게는 지구에서의 $\frac{1}{6}$ 정도가 됩니다. 몸무게를 줄이는 방법의 비밀이 여기에 있습니다. 뉴턴의 운동법칙 $\textit{F=ma}$를 봅시다. 힘이 질량과 가속도의 곱이란 뜻입니다. 아까 몸무게는 중력의 크기라고 했었죠? 질량은 변하지 않는 고유한 값이므로 몸무게를 줄이기 위해선 중력 가속도가 작아져야 합니다. 중력 가속도가 작은 곳이 따로 있을까요? 만유인력의 법칙을 통해 그 해답을 찾아보도록 하죠. 만유인력 법칙에 따르면 두 물체 사이에 작용하는 만유인력의 크기는 물체의 질량에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다. 지구의 반지름이 $\textit{R}$, 질량 $\textit{M}$인 지구가 질량 $\textit{m}$인 물체에 작용하는 중력인 무게는 다음과 같습니다. $F = G\frac{Mm}{R^2}$ (G: 중력 상수, $6.68384 \times 10^{-11} \, \text{㎥} \, \text{㎏}^{-1} \, \text{s}^{-2}$) 따라서 중력 가속도를 $\textit{g}$라고 하면 $mg = \frac{GMm}{R^2}$, $g = \frac{GM}{R^2}$ 일정한 값 약 9.8 $\text{㎨}$이 됩니다. 그런데 이 값은 지구의 표면에서의 중력 가속도를 나타낸 것입니다. 따라서 지표면으로부터 높은 곳으로 올라가면 중력 가속도는 지구 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례해 작아지게 됩니다. 높이 $\textit{h}$ 만큼 올라갔을 때의 중력 가속도를 식으로 표현하면 다음과 같습니다. $g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$ 분모가 커졌으니 값이 작아지겠죠? 즉 높은 곳에 올라가면 중력 가속도가 작아져, 몸무게 역시 줄어드는 것입니다. 하지만 아쉽게도 문제가 하나 남았습니다. 지구의 반지름은 약 6,400 ㎞로 매우 큽니다. 10 ㎞ 만큼 올라가도 중력 가속도는 0.3 % 정도 밖에 줄어들지 않습니다. 땅을 파고 지구의 안쪽으로 들어가도 중력 가속도가 줄어들기는 하지만, 64 ㎞를 들어가야 겨우 약 1 % 정도만 줄어듭니다. 중력 가속도는 위치에 따라서도 다릅니다. 그 값을 측정하기 위해 최근에는 인공위성을 이용합니다. 2000년 7월에 발사된 CHAMP와 2002년 3월에 발사된 GRACE는 약 220 km의 간격을 유지하며 같은 높이에서 궤도를 돌고 있습니다. 두 위성이 중력의 변화가 나타나는 지점을 지나게 되면 두 위성 사이의 거리에 미세한 변화가 생기는데, 이를 이용해 중력 가속도를 측정합니다. 과학자들은 두 위성의 관측 자료를 토대로 3차원 중력 지도를 만들었습니다. 그런데 그 모습이 울퉁불퉁해 ‘포츠담 중력 감자’라 부릅니다. 위치에 따라서 중력 가속도가 조금씩 다른 것을 볼 수 있습니다. 그러면 중력 가속도가 작은 곳으로 가면 되겠네요. 하지만 그 차이는 크지 않습니다. 저울에 나타나는 숫자가 조금 바뀌는 것일 뿐, 질량 자체는 바뀌지 않습니다. 역시 유일한 다이어트의 방법은 음식을 절제하고 운동을 꾸준하게 하는 길 밖에 없는 것 같습니다.